2024年初中數學三角函數及公式

依據單位圓定義，我們可以做三個有向線段(向量)來表示正弦、余弦、正切的值。

借助線三角函數線，我們可以觀察到第二象限角α的正弦值為正，余弦值為負，正切值為負。

1．銳角三角函數定義

銳角角A的正弦(sin)，余弦(cos)和正切(tan)，余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的銳角三角函數。

正弦(sin)等于對邊比斜邊;

余弦(cos)等于鄰邊比斜邊;

正切(tan)等于對邊比鄰邊;

余切(cot)等于鄰邊比對邊;

正割(sec)等于斜邊比鄰邊;

余割(csc)等于斜邊比對邊。

2．互余角的三角函數關系

sin(90°-α)=cosα， cos(90°-α)=sinα,

tan(90°-α)=cotα， cot(90°-α)=tanα。

3．同角三角函數間的關系

商數關系：sinA/cosA=tanA

平方關系：sin^2(A)+cos^2(A)=1

積的關系：

sinA=tanA·cosA

cosA=cotA·sinA

cotA=cosA·cscA

tanA·cotA=1

倒數關系：

直角三角形ABC中

角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊，

余弦等于角A的鄰邊比斜邊

正切等于對邊比鄰邊,

余切等于鄰邊比對邊

4.三角函數值

(1)特殊角三角函數值

(2)0°～90°的任意角的三角函數值，查三角函數表

(3)銳角三角函數值的變化情況

(i)銳角三角函數值都是正值

(ii)當角度在0°～90°間變化時，

正弦值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)

余弦值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)

正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)

余切值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)

(iii)當角度在0°≤∠A≤90°間變化時，

0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0

當角度在0°<∠A<90°間變化時，

tanA>0, cotA>0

對稱軸與對稱中心

y=sinx 對稱軸：x=kπ+π/2(k∈z) 對稱中心：(kπ，0)(k∈z)

y=cosx 對稱軸：x=kπ(k∈z) 對稱中心：(kπ+π/2，0)(k∈z)

y=tanx 對稱軸：無 對稱中心：(kπ，0)(k∈z)

兩角和與差的三角函數

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

和差化積公式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

積化和差公式

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

倍角公式

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2

tan2α=2tanα/(1-tan^2)

cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα)

sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)

csc(2α)=1/2*secα·cscα

三倍角公式

sin(3α) = 3sinα-4sin³α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)

cos(3α) = 4cos³α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)

tan(3α) = (3tanα-tan³α)/(1-3tan²α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)

cot(3α)=(cot³α-3cotα)/(3cotα-1)

n倍角公式

根據歐拉公式(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ

將左邊用二項式定理展開分別整理實部和虛部可以得到下面兩組公式

sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…

cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α

半角公式

sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]

cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]

tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

cot(α/2)=±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)

sec(α/2)=±√[(2secα/(secα+1)]

csc(α/2)=±√[(2secα/(secα-1)]

輔助角公式

Asinα+Bcosα=√(A²+B²)sin[α+arctan(B/A)]

Asinα+Bcosα=√(A²+B²)cos[α-arctan(A/B)]

萬能公式

sin(a)=[2tan(a/2)]/[1+tan²(a/2)]

cos(a)=[1-tan²(a/2)]/[1+tan²(a/2)]

tan(a)=[2tan(a/2)]/[1-tan²(a/2)]

降冪公式

sin²α=[1-cos(2α)]/2=versin(2α)/2

cos²α=[1+cos(2α)]/2=vercos(2α)/2

tan²α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]

三角和的三角函數

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

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