2023年初中數學定理：全等三角形與相似三角形

項目

一般三角形（4種）

直角三角形（5種）

判定方法

SSS SAS AAS ASA

SSS SAS AAS ASA HL

性質

（7個相等）

對應邊相等，對應角相等，周長相等，面積相等，對應邊上的中線相等，對應邊上的高線相等，對應角平分線相等

關鍵點

1、判定兩個三角形全等至少有一組對應邊相等

2、ASA和AAS能夠互換，是因為三角形的內角和等于180度，有兩組角對應相等，第三組角也相等。互換書寫時注意邊角關系。

已知條件

尋找條件

選擇判定方法

兩角

夾邊或任一邊

ASA或AAS

兩邊

夾角或另一邊或直角

SAS或SSS或HL

一角及其對邊

任一角

AAS

一角及其鄰邊

角的另一鄰邊或邊的另一鄰角或邊的對角

SAS或ASA或AAS

項目

內容

條件和結論表示方法

圖形

角平分線的定義

從一個角的頂點出發把一個角分成兩個相等的角的一條射線

∵∠ABD=∠DBC（數量關系）

∴BD是∠ABC的角平分線（位置關系）

角平分線的性質

角平分線上的一點到角兩邊的距離相等

判定1：∵∠ABD=∠DBC（或BD是∠ABC的角平分線）DA⊥AB，DC⊥BC（位置關系）

∴AD=DC（數量關系）

角平分線的判定

判定1：到角兩邊的距離相等的點在角的平分線上

判定2：定義

判定1：∵AD=DC，

DA⊥AB、DC⊥BC

∴∠ABD=∠DBC

判定2：

∵∠ABD=∠DBC

∴BD是∠ABC的角平分線

類型

斜三角形

直角三角形

全等三角形的判定

SAS

SSS

AAS(ASA)

HL

相似三角形的判定

兩邊對應成比例夾角相等

三邊對應成比例

兩角對應相等

一條直角邊與斜邊對應成比例

平行四邊形

矩形

菱形

正方形

性質

邊

對邊平行且相等

對邊平行且相等

對邊平行，

四邊相等

對邊平行，

四邊相等

角

對角相等

四個角都是直角

對角相等

四個角都是直角

對角線

互相平分

互相平分且相等

互相垂直平分，且每條對角線平分一組對角

互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角

判定

1、兩組對邊分別平行；

2、兩組對邊分別相等；3、一組對邊平行且相等；4、兩組對角分別相等；5、兩條對角線互相平分

1、有三個角是直角的四邊形；

2、有一個角是直角的平行四邊形；

3、對角線相等的平行四邊形

1、四邊相等的四邊形；2、對角線互相垂直的平行四邊形；3、有一組鄰邊相等的平行四邊形；4、每條對角線平分一組對角的四邊形。

1、有一個角是直角的菱形；2、對角線相等的菱形；3、有一組鄰邊相等的矩形；4、對角線互相垂直的矩形

對稱性

只是中心對稱圖形

既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

面積

S=ah

S=ab

S=a²