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來源：網絡資源 2022-11-10 16:51:22
利用二次函數圖像判斷各系數之間的關系，是中考數學的常考題型，因為綜合性較高，題目較難，通常放在選擇題或者填空題最后一題，作為小題的壓軸題。因此，需要各位同學認真熟悉此種題型的解題方法和技巧。
數學學習
一、基本原理：拋物線與系數之間的關系
已知二次函數y=ax2+bx+c，(a≠0, a、b、c為各項系數)
1、a與拋物線的開口方向及大小之間的關系
拋物線開口向上 a>0，
拋物線開口向下 a<0，
|a|越大，拋物線的開口越小
|a|越小，拋物線的開口越大
2、a、b決定拋物線的對稱軸 以及 二次函數的最大最小值
1)拋物線對稱軸的表達式：x= - b/2a
① b=0時，對稱軸為x=0，即y軸;
②當a、b同號時，對稱軸<0，即對稱軸在y軸左側;
③當a、b異號時，對稱軸>0，即對稱軸在y軸右側;
2)二次函數的最值
① 當a>0時，二次函數在x= - b/2a處，取最小值(4ac - b²)/4a
② 當a<0時，二次函數在x= - b/2a處，取最大值(4ac - b²)/4a
3、c即拋物線與y軸的交點
因為對于二次函數y=ax2+bx+c，當x=0時，y=c;
C>0 、C=0、C<0 ，拋物線與坐標軸分別交于y軸正半軸、原點、y軸負半軸。
4、△ = b²- 4ac 決定拋物線與x軸的交點個數
① 當△ > 0時，拋物線與x軸有兩個交點
② 當△ = 0時，拋物線與x軸有一個交點
③ 當△ <0時，拋物線與x軸無交點
二、數形結合：代入特殊值
在確定了拋物線的開口方向、對稱軸、最值，以及與坐標軸的交點后，往往只能解決前面一些較為簡單的問題。我們還需要依據圖形，代入特殊值，才能解決題目中較難的問題。
代入的特殊值一般有x= -1， x= 1， x= -2 ，x=2，x=對稱軸 等，以及圖形中標出的特殊數值，將這些特殊值代入二次函數解析式中，求出函數值，然后結合圖像
(1)與0作比較;
(2)與函數最值作比較;
(3)如果有一次函數，與一次函數值作比較;
(4)或者代入特殊值后，將得到的關于a、b、c表達式進行加減乘除運算等。
下面我們結合例題進行詳細講解：
三、例題解析
例1、如圖所示，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，對稱軸為直線x=1.直線y=﹣x+c與拋物線y=ax2+bx+c交于C、D兩點，D點在x軸下方且橫坐標小于3，則下列結論：①2a+b+c>0; ②a﹣b+c<0; ③x(ax+b)≤a+b; ④a<﹣1.其中正確的是( )
A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①②
解：∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，
∴c>0，
∵拋物線的對稱軸為直線x=− b/(2a) =1，(利用對稱軸公式得出a、b的關系)
∴b=−2a，
∴2a+b+c=2a−2a+c=c>0，所以①正確;
∵拋物線與x軸的一個交點在點(3，0)左側，
而拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴拋物線與x軸的另一個交點在點(−1，0)右側，
∴當x=−1時，y<0，(代入特殊值x=−1，結合圖像將函數值與0作比較)
∴a−b+c<0，所以②正確;
∵x=1時，二次函數有最大值，(代入特殊值x=1，得出函數最大值，二次函數的所有值都小于最大值)
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，所以③正確;
∵直線y=−x+c與拋物線y=ax2+bx+c交于C、D兩點，D點在x軸下方且橫坐標小于3，
∴x=3時，一次函數值比二次函數值大，
即9a+3b+c<−3+c，(代入特殊值x=3，結合圖像將二次函數值與一次函數值作比較)
而b=−2a，
∴9a−6a<−3，解得a<−1，所以④正確.
故答案為：A.
例2、如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點坐標為(0.5，1)，下列結論：①ac<0;②a+b=0;③4ac﹣b2=4a;④(a+c)2﹣b2<0.其中正確的個數是( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
解：由圖像可知：
①a<0, c>0
∴ac<0 正確
②∵頂點的橫坐標為0.5
∴ x=− b/(2a) =1/2
(利用對稱軸公式得出a、b的關系)
∴a+b=0 正確
③∵頂點的縱坐標為1
∴(4ac - b²)/4a=1(利用最值公式)
∴4ac﹣b2=4a正確
① 當x= 1時，y= a+b+c>0
當x= -1時，y= a-b+c<0 (a-b+c)(a+b+c)<0
∴(a+c)²﹣b²<0
(代入特殊值x=−1，x=1得到關于a、b、c表達式進行相乘結合圖像將函數值與0作比較)
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