2023年初中數學一元二次方程的解法和定義

定義

等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(一元)。并且未知數的最高次數是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式是:

ax²+bx+c=0(a≠0)。其中ax²是二次項，a是二次項系數;bx是一次項;b是一次項系數;c是常數項。對于方程

ax2+bx+c=0，只有當a≠0時才是一元二次方程。反過來，如果說ax²+bx+c=0是一元二次方程則必須含著a≠0這個條件。

解一元二次方程

(1)直接開平方法

我們知道如果x²=25，則x=±25，即x=±5，像這種利用平方根的定義通過直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。

一般地，對于方程x²=p，①當p>0時，方程有兩個不等的實數根x1=√p ，x2=−√p

②當p=0時，方程有兩個相等的實數x1=x2=0。

③當p<0時，因為對任意實數x，都有x2⩾0，所以方程無實數根。

(2)配方法

通過配成完全平方的形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法。用配方法解方程是以配方為手段，以直接開平方法為基礎的一種解一元二次方程的方法。

用配方法解一元二次方程的一般步驟：

①化二次項系數為1。

②移項：使方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數項。

③配方：方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，原方程變為

(x+n)²=p的形式。

④直接開平方：如果右邊是非負數，就可用直接開平方法求出方程的解。

(3)公式法

一般地，式子.b²-4ac叫做方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判別式，通常用希臘字母Δ

表示，即Δ=b²-4ac。

當Δ=b²-4ac>0時，一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數根。即x1=(-b+√b²-4ac)/2a，x2=(-b-√b²-4ac)/2a。

當Δ=b²-4ac=0時，一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實數根。x1=x2=-b/2a。

當Δ=b²-4ac<0時，一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)沒有實數根。

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