2022年初中數學用圖形法解答二元一次方程組問題

圖形法秒解含參二元一次方程組問題

已知a≠6，若方程組

的解x、y為正數，求a的范圍。

[思路分析]

這是一個典型的含參二元一次方程的解的問題，根據常規思路，先解方程，得到含有參數a的方程的解，然后另對應的x、y大于零，求解a的范圍即可。

[解答]

以上常規解法屬于代數法，也不算太復雜，初二階段的同學要逐步適應代數式的計算，包括等式和不等式。當然，對于含參不等式，還要注意符號，考慮變號的問題。有時候稍微繁瑣一點，須注意不要出錯。對于本題，采用圖形解法要方便快捷不少。

教材上說：“一般地，以一個二元一次方程的解為坐標的點組成的圖像，與相應的一次函數的圖像相同，是一條直線”，教材上還說：“一般地，從圖形的角度看，...解一個二元一次方程組相當于確定相應的兩條直線交點的坐標”。

據此，有以下圖形解法，請看解析。

[解析]

1. 由題意，方程組的解為正數，從圖形角度看，就是相應的兩條直線的交點坐標在第一象限內。因此我們先把原方程組做個變換，得到兩個標準的一次函數的解析式形式：

可見，這兩條直線的截距都是固定的，其中一條直線為定直線，另一條直線的斜率隨參數a變化。

2. 易得，定直線與x、y軸的交點分別為(2，0),(0，3)，動直線與y軸的交點位(0，2)，畫出兩條直線，如下圖：

3. 觀察圖像可以看出，根據參數a不同，動直線繞點(0，2)旋轉。當兩直線交于點(2，0)，動直線斜率為-1，如圖中紅線所示。若動直線逆時針旋轉，斜率增加，交點就一定在第一象限，否則交點在二或四象限，故有：

當原方程組的解x、y為正數時，動直線斜率大于-1，即−a4>−1

可得a<4

提示1：理解函數圖像與方程式的關系非常重要，特別是初二年級剛接觸到函數的概念，這個概念不容易建立起來，需要多加練習。

提示2：本題圖像解法需要深入理解并熟練應用一次函數斜率與截距的幾何意義。

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