2022年初中數學：和差化積公式推導

和差化積公式推導

　　和差化積公式推導

　　首先，我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb，sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

　　我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

　　所以，sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

　　同理，若把兩式相減，就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

　　同樣的，我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb，cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

　　所以，把兩式相加，我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

　　所以我們就得到，cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

　　同理，兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

　　這樣，我們就得到了積化和差的四個公式：

　　sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

　　cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

　　cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

　　sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

　　好，有了積化和差的四個公式以后，我們只需一個變形，就可以得到和差化積的四個公式.

　　我們把上述四個公式中的a+b設為x，a-b設為y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2

　　把a，b分別用x，y表示就可以得到和差化積的四個公式：

　　sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

　　sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

　　cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

　　cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

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