一、定義和特點
1、一元二次方程：含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：ax的平方+bx+c=0(a≠0)，它的特征是：等式左邊加一個關于未知數x的二次多項式，等式右邊是零，其中ax的平方+叫做二次項，a叫做二次項系數;bx叫做一次項，b叫做一次項系數;c叫做常數項。
二、方程起源
古巴比倫留下的陶片顯示，在大約公元前2000年(2000 BC)古巴比倫的數學家就能解一元二次方程了。在大約西元前480年，中國人已經使用配方法求得了二次方程的正根，但是并沒有提出通用的求解方法。西元前300年左右，歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程。
7世紀印度的婆羅摩笈多(Brahmagupta)是第一位懂得用使用代數方程，它同時容許有正負數的根。
11世紀阿拉伯的花拉子密獨立地發展了一套公式以求方程的正數解。亞伯拉罕·巴希亞(亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱)在他的著作Liber embadorum中，首次將完整的一元二次方程解法傳入歐洲。
據說施里德哈勒是最早給出二次方程的普適解法的數學家之一。但這一點在他的時代存在著爭議。這個求解規則是(引自婆什迦羅第二)：
在方程的兩邊同時乘以二次項未知數的系數的四倍;
在方程的兩邊同時加上一次項未知數的系數的平方;
在方程的兩邊同時開二次方。
三、性質
方程的兩根與方程中各數有如下關系：x1+x2= -b/a，x1·x2=c/a(也稱韋達定理)
方程兩根為x1，x2時，方程為：x^2+(x1+x2)X+x1x2=0(根據韋達定理逆推而得)
b^2-4ac>0有2個不相等的實數根，b^2-4ac=0有兩個相等的實數根，b^2-4ac<0無實數根。
四、一般解法
一元二次方程的一般解法有以下幾種：
配方法(可解部分一元二次方程)
公式法(在初中階段可解全部一元二次方程，前提：△≥0)
因式分解法(可解部分一元二次方程)
直接開平方法(可解全部一元二次方程)
五、小結及例題
一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般形式，同時應使二次項系數化為正數。
直接開平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程(有人稱之為萬能法)，在使用公式法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數，而且在用公式前應先計算判別式的值，以便判斷方程是否有解。
配方法是推導公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用，是初中要求掌握的三種重要的數學方法之一，一定要掌握好。(三種重要的數學方法：換元法，配方法，待定系數法)。
例：用適當的方法解下列方程。(選學)
(1)4(x+2)^2-9(x-3)^2=0;(2)x^2+2x-3=0;(3)4x^2-4mx-10x+m^2+5m+6=0
分析：
(1)首先應觀察題目有無特點，不要盲目地先做乘法運算。觀察后發現，方程左邊可用平方差
公式分解因式，化成兩個一次因式的乘積。
(2)可用十字相乘法將方程左邊因式分解。
(3)把方程變形為 4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后利用十字相乘法因式分解。
(1)解：4(x+2)^2-9(x-3)^2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1，x2=13
(2)解： x^2+2x-3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3，x2=1
(3)解：4x^2-4mx-10x+m^2+5m+6=0
4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1=(m+2)/2，x2=(m+3)/2
歡迎使用手機、平板等移動設備訪問中考網，2025中考一路陪伴同行！>>點擊查看
