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來源：網絡資源 作者：中考網整理 2019-05-01 17:39:53
一、利用三角形的面積橋求銳角三角函數值
例1 如圖1，E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD的中點，求∠EAF的正切值。
圖1
解：連結EF，作FG⊥AE，垂足為G
設正方形的邊長為2，則BE=CE=CF=FD=1
由
在 中，由勾股定理，得
在△AEF中，
易證：△ABE≌△ADF，∴AF=AE=
在Rt△AFG中
評注：本例考查了勾股定理、全等三角形等知識，要求銳角三角函數值必須在直角三角形進行，通過添加輔助線將非直角三角形轉化為直角三角形，為解決問題創造了有利條件，使所求問題化歸為利用三角形面積橋來解決。
例2 如圖2，AB是圓O的直徑，CD⊥AB于P，若BP=2，CD=12，求cos∠CAD的值。
圖2
解：∵AB是圓O的直徑，AB⊥CD
∴點P是弦CD的中點
∴PD=PC=6
由相交弦定理，得
PA·PB=PD·PC=PD 2
在 中，由勾股定理，得
#p#分頁標題#e#
易證：
過點D作DE⊥AC，垂足為E
在 中，
評注：本例考查了圓中的相交弦定理、垂徑定理，還考查了勾股定理、全等三角形等知識，通過添加輔助線，構造直角三角形，利用三角形面積橋的特殊條件，提高了解題效率與為解決某些問題搭起了平臺作用。
二、利用三角形的面積橋求點到直線的距離
例3 如圖3，已知圓 與圓 外切于點C，AB是兩圓的外公切線，A、B是切點，點A在圓 上，點B在圓 上。若AC、BC是關于x的方程 的兩個實數根，△ABC的周長為30，求點C到直線AB的距離。
圖3
解：過點C作兩圓的公切線交AB于點P，則AP=PC=PB
，即
∴△ABC是直角三角形。
設BC=a，AC=b，AB=c，根據題意及根與系數的關系，得
將①代入③，得 ④
根據勾股定理，得
⑤#p#分頁標題#e#
將①、②、④代入⑤，得
，
經整理，得
，解得
又
都能使原方程有實根。
當 時代入④，得
，不合題意，舍去。
當 時，代入④，得
∴當 時，代入②，得
設點C到直線AB的距離為h
評注：本例由兩圓外切來判斷三角形的形狀，將方程中的根與系數的關系和判別式，以及勾股定理，配方法、方程等知識點串聯在一起，綜合性較強，所考查的知識點頗多，涉及面廣，拓寬了對相關知識點的考查;同時合理構建方程組模型，利用方程的知識和三角形的面積橋是解決問題的關鍵;利用整體求值法，避免了求邊長，提高了解題速度，有利于培養學生將所學過的掌握的相關知識轉化為解決實際問題的能力，核心是應用能力，本例形成了較好的考查知識鏈。
三、利用三角形的面積橋求三角形的內切圓面積
例4 在△ABC中，AC=4，BC=5，AB=6，求△ABC的內切圓面積。
解：如圖4所示，過點A作AD⊥BC，設BD=x，CD=y，則
圖4
①
在 和#p#分頁標題#e# 中，由勾股定理，得
②
解①，②，得
設△ABC的內切圓半徑為r，因為三角形的內切圓圓心到三邊的距離相等。
的內切圓面積為 面積單位)。
評注：本例充分利用方程知識和三角形的面積橋，使所求問題無從下手，到;柳暗花明;，使所求問題迎刃而解。
四、利用三角形的面積橋解決其他問題
例5 在△ABC中，AB=3，BC= ，AC=4，點P為BC邊上的任一點不與B、C重合)，PE⊥AB，PF⊥AC，E、F為垂足，求3PE+4PF的值。
解：如圖5過點B作BD⊥AC，垂足為D
圖5
設
則 ①
在 和 中，由勾股定理，得
#p#分頁標題#e#
即 ②
解①，②，得
連結AP，則
即
評注：本例是2019年全國 試題改編，在解題過程中，利用了方程思想，實現了幾何代數化，由方程知識和三角形的面積橋，使解題思路清晰，解題方法躍然紙上，簡潔明快，所以三角形的面積橋為提高解題質量和技巧提供了便捷通道。
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