2015年中考數學二次函數知識點：選擇題及解析八

　　一、選擇題

　　8.（2014o孝感，第12題3分）拋物線y=ax2+bx+c的頂點為D（﹣1，2），與x軸的一個交點A在點（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，其部分圖象如圖，則以下結論：

　　①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有兩個相等的實數根．

　　其中正確結論的個數為（）

　　A．1個B．2個C．3個D．4個

　　考點：二次函數圖象與系數的關系；拋物線與x軸的交點

　　專題：數形結合．

　　分析：由拋物線與x軸有兩個交點得到b2﹣4ac＞0；有拋物線頂點坐標得到拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，則根據拋物線的對稱性得拋物線與x軸的另一個交點在點（0，0）和（1，0）之間，所以當x=1時，y＜0，則a+b+c＜0；由拋物線的頂點為D（﹣1，2）得a﹣b+c=2，由拋物線的對稱軸為直線x=﹣=1得b=2a，所以c﹣a=2；根據二次函數的最大值問題，當x=﹣1時，二次函數有最大值為2，即只有x=1時，ax2+bx+c=2，所以說方程ax2+bx+c﹣2=0有兩個相等的實數根．

　　解答：解：∵拋物線與x軸有兩個交點，

　　∴b2﹣4ac＞0，所以①錯誤；

　　∵頂點為D（﹣1，2），

　　∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，

　　∵拋物線與x軸的一個交點A在點（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，

　　∴拋物線與x軸的另一個交點在點（0，0）和（1，0）之間，

　　∴當x=1時，y＜0，

　　∴a+b+c＜0，所以②正確；

　　∵拋物線的頂點為D（﹣1，2），

　　∴a﹣b+c=2，

　　∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣=1，

　　∴b=2a，

　　∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正確；

　　∵當x=﹣1時，二次函數有最大值為2，

　　即只有x=1時，ax2+bx+c=2，

　　∴方程ax2+bx+c﹣2=0有兩個相等的實數根，所以④正確．

　　故選C．

　　點評：本題考查了二次函數的圖象與系數的關系：二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當a＞0，拋物線開口向上；對稱軸為直線x=﹣；拋物線與y軸的交點坐標為（0，c）；當b2﹣4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點；當b2﹣4ac=0，拋物線與x軸有一個交點；當b2﹣4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點．

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