2015年中考數學二次函數知識點：例題分析一

　　二、例題分析：

　　例1．已知P(m, n)是一次函數y=-x+1圖象上的一點，二次函數y=x2+mx+n的圖象與x軸兩個交點的橫坐標的平方和為1，問點N(m+1, n-1)是否在函數y=-圖象上。

　　分析：P(m, n)是圖象上一點，說明P(m, n)適合關系式y=-x+1，代入則可得到關于m,n的一個關系，二次函數y=x2+mx+n與x軸兩個交點的橫坐標是方程x2+mx+n=0的兩個根，則x1+x2=-m, x1x2=n, 由平方和為1即x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=1，又可得到關于m, n的一個關系，兩個關系聯立成方程組，可解出m, n，這種利用構造方程求函數系數的思想最為常見。

　　解：∵P(m,n)在一次函數y=-x+1的圖象上，

　　∴ n=-m+1, ∴ m+n=1.

　　設二次函數y=x2+mx+n的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標為x1,x2,

　　∴x12+x22=1,

　　又∵x1+x2=-m, x1x2=n,

　　∴ (x1+x2)2-2x1x2=1, 即m2-2n=1

　  由解這個方程組得：或。

　　把m=-3, n=4代入x2+mx+n=0,

　　x2-3x+4=0, Δ<0.

　　∴ m=-3, n=4(舍去).

　　把m=1, n=0代入x2+mx+n=0,

　　x2+x=0, Δ>0

　　∴點N（2，-1），

　　把點N代入y=-,當x=2時，y=-3≠-1.

　　∴點N（2，-1）不在圖象y=-上。

　　說明：這是一道綜合題，包括二次函數與一次函數和反比例函數，而且需要用到代數式的恒等變形，與一元二次方程的根與系數關系結合，求出m、n值后，需檢驗判別式，看是否與x軸有兩個交點。當m=-3, n=4時，Δ<0，所以二次函數與x軸無交點，與已知不符，應在解題過程中舍去。是否在y=-圖象上，還需把點（2，-1）代入y=-，滿足此函數解析式，點在圖象上，否則點不在圖象上。
 

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