初二數學（上）知識點：一次函數

　　一次函數定義：一般地，形如y=kx+b(k、b是常數  ,k≠0)的函數，叫一次函數。

　　（存在條件: ①兩個變量x、y,       ②k、b是常數且k≠0,

　　③自變量x的次數是1，④自變量x的是整式形式）

　　一次函數與正比例函數關系: 正比例函數包含于一次函數，即正比例函數是一次函數；正比例函數是一次函數當b=0時的特殊情況。

　　一次函數性質：以下各條性質反之也成立。

　　①圖像形：是一條直線。稱為直線y=kx+b

　　②象限性:

　　當k＞0、b＞0時，直線經過第一、二、三象限，不過四象限。

　　當k＞0、b＜0時，直線經過第一、三、四象限。不過二象限

　　當k＜0 、b＞0時，直線經過第一、二，四象限。不過三象限

　　當k＜0 、b＜0時，直線經過第二，三、四象限。不過一象限

　　③增減性：當k＞0時，直線從左向右上升，隨著x的增大(減小)  y也增大(減小)

　　當k＜0時，直線從左向右下降。隨著x的增大(減小)  y反而而減小（增大）

　　④連續性：由于自變量取值是全體實數，所以圖像具有連續性。（沒有最大或最小值）

　　⑤截距性;

　　當b＞0時，直線與y軸交于y軸正半軸(交點位于軸上方)

　　當b＜0時，直線與y軸交于y軸負半軸(交點位于軸下方)

　　⑥傾斜性:︱k︱越大，直線越靠向y軸，與x軸正方向的夾角度數越大，越陡。

　　⑦平移性; 直線y=kx+b

　　當b＞0時，是由直線y=kx 向上平移得到的。

　　當b＜0時，是由直線y=kx 向下平移得到的。

　　⑧平行性：       ，當 時， ∥

　　待定系數法：先設出函數解析式，在根據條件確定解析式中的未知的系數，從而寫出這個式子的方法，叫待定系數法。

　　用待定系數法確定解析式的步驟：

　　①設函數表達式為：y=kx  或  y=kx+b

　　②將已知點的坐標代入函數表達式，得到方程（組）

　　③解方程或組，求出待定的系數的值。

　　④把的值代回所設表達式，從而寫出需要的解析式。

　　注意; 正比例函數y=kx只要有一個條件就可以。而一次函數y=kx+b需要有兩個條件。

　　一次函數與一元一次方程的關系

　　一元一次方程ax+b=0（a,b為常數，且a≠0）可看作一次函數y=ax+b的函數值是0的一種特例，其解是直線y=ax+b與x軸交點的橫坐標，所以解一元一次方程ax+b=0可以轉化為當一次函數y=ax+b的值為0時，求相應自變量x的值，因此可以利用圖像來解一元一次方程。
 

　　求直線y=kx+b與x軸交點時，可令y=0,得到一元一次方程kx+b=0,解方程得x=－ ,則－ 就是直線y=kx+b與x軸交點的橫坐標。

　　反過來解一元一次方程也可以看作是求直線y=kx+b與x軸交點的橫坐標的值。

　　一次函數與一元一次不等式的關系

　　一元一次不等式ax+b＞0或ax+b＜0（a,b為常數，且a≠0）可看作一次函數y=ax+b的函數值大于0或小于0的情形，所以解一元一次不等式可以轉化為當一次函數y=ax+b的值大于0或小于0時，求相應自變量x的范圍，因此可以利用圖像來解一元一次不等式。

　　一次函數y=kx+b，當y＞0時，成為一元一次不等式kx+b＞0;

　　一次函數y=kx+b，當y＜0時，成為一元一次不等式kx+b＜0;

　　kx+b＞0的解集是一次函數y=ax+b的函數值為正值時的自變量x的取值范圍，對應函數圖像在x軸上方；

　　kx+b＜0的解集是一次函數y=ax+b的函數值為負值時，自變量x的取值范圍，對應函數圖像在x軸下方。

　　一次函數與二元一次方程（組）的關系

　　每個二元一次方程都可以轉化為一個一次函數，對應著一條直線；二元一次方程組可以轉化為兩個一次函數，對應著兩條直線。從“數”的角度看是解方程組的過程，從“形”的角度看，解方程組可以看作兩條直線交點坐標，因此可以利用圖像來解二元一次方程組。

　　二元一次方程 kx－y+b =0 (k≠0 ) 的解與一次函數 y=kx+b (k≠0 )圖像上點坐標是一一對應的。

　　用圖像求二元一次方程（組）的近似解方法

　　①先把方程組中的兩個二元一次方程化成一次函數的形式： 和

　　②建立平面直角坐標系，畫出這兩個一次函數的圖像；

　　③寫出交點的橫縱坐標，橫坐標的值就是方程組x的解，縱坐標的值就是方程組y的解

　　④寫出方程組的解。

 

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