一道中考數(shù)學(xué)壓軸題給我們的啟迪

　　一道中考數(shù)學(xué)壓軸題給我們的啟迪，從2005年各市的中考數(shù)學(xué)壓軸題中好好總結(jié)一下，這對(duì)我們?nèi)缃竦慕逃�教學(xué)和升學(xué)考試指導(dǎo)等工作將是十分有益的。
　　首先我們來(lái)看一下改革前沿的上海市中考數(shù)學(xué)壓軸題，然后再加以分析和解答。

　　例題：（2005年上海市中考數(shù)學(xué)最后一題第25題）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，O是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以0為圓心作半圓，與邊AB相切于點(diǎn)D,交線(xiàn)段OC于點(diǎn)E，作EP⊥ED交射線(xiàn)AB于點(diǎn)P，交射線(xiàn)CB于點(diǎn)F.（1）如圖，求證：△ADE∽△AEP；

　　（2）設(shè)OA=,AP=時(shí)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出它的定義域；

　　（3）當(dāng)BF=1時(shí)，求線(xiàn)段AP的長(zhǎng)。分析：此題起點(diǎn)不高，但要求較全面。是一道數(shù)與形、代數(shù)計(jì)算與幾何證明、相似三角形的判定與性質(zhì)、畫(huà)圖分析與列方程求解、勾股定理與函數(shù)、圓和三角比相結(jié)合的綜合性試題。同時(shí)考查了初中數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合的思想、分類(lèi)討論的思想和幾何運(yùn)動(dòng)變化等數(shù)學(xué)思想。本題似曾相識(shí)又不相識(shí)，融入了動(dòng)態(tài)幾何的變和不變，要求學(xué)生動(dòng)中求靜，靜中思變，有一定難度，但上手還是容易的。本題有三問(wèn)，相當(dāng)于三個(gè)臺(tái)階，這種恰當(dāng)?shù)匿亯|給了考生較寬的入口，有利于考生正常水平的發(fā)揮。而通過(guò)層層設(shè)問(wèn)，拾級(jí)而上，逐步深入，能夠使一部分優(yōu)秀學(xué)生數(shù)學(xué)水平得到體現(xiàn)，起到了中考―――升學(xué)考試選拔的功能。

　　第（1）問(wèn)是基礎(chǔ)，求兩個(gè)三角形相似，只要連結(jié)OD，易于找出有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，即可得出結(jié)論。起點(diǎn)低，上手容易，絕大多數(shù)學(xué)生都能夠比較輕松的給以解答。

　　第（2）問(wèn)和第（3）問(wèn)的解答，由數(shù)形結(jié)合求出函數(shù)的關(guān)系式后，既要善于觀(guān)察和推理判斷，又要準(zhǔn)確的計(jì)算，更要全面細(xì)致的分析。首先要充分運(yùn)用數(shù)學(xué)中分類(lèi)討論的思想，仔細(xì)審題，抓住線(xiàn)段和射線(xiàn)這兩個(gè)概念的區(qū)別，考慮到圓心O在A(yíng)C上運(yùn)動(dòng)變化時(shí)的兩種情形，使EP⊥ED交線(xiàn)段AB于點(diǎn)P和EF交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，分別討論解決，即可得出正確答案。

　　簡(jiǎn)解：（1）連結(jié)OD,只需證出∠ADE=∠AEP，或∠AED=∠APE,而∠A=∠A是公共角，即可證得△ADE∽△AEP。

　　（2）由（1）問(wèn)，得出△ADE∽△AEP，它們的對(duì)應(yīng)邊成比例。

　　由已知條件，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，利用勾三股四弦五整數(shù)組解，（詳見(jiàn)6月21日《新聞晚報(bào)》我們的文章“從壓軸題看勾三股四的運(yùn)用”），即得到解答：

　　y關(guān)于的x函數(shù)關(guān)系式是：y=165x。

　　求函數(shù)的定義域，比較容易出錯(cuò)，造成漏解和錯(cuò)解。要充分運(yùn)用數(shù)學(xué)中分類(lèi)討論的思想，仔細(xì)審題，抓住線(xiàn)段和射線(xiàn)這兩個(gè)關(guān)鍵性的概念，得到函數(shù)的定義域是：0＜x≤258。

　　（3）由△ADE∽△AEP和△FBP∽△DEP，它們的對(duì)應(yīng)邊成比例，采用過(guò)渡比，代入數(shù)值，AP也是兩種情形，可計(jì)算出AP=2或6兩解。

　　以上我們對(duì)今年上海市的中考數(shù)學(xué)壓軸題進(jìn)行了分析和解答，它給了我們那些啟示？

　　■上海市的二期課改已從中考這個(gè)教育教學(xué)最有力的“指揮棒”開(kāi)始行動(dòng)起來(lái)了。每個(gè)學(xué)生連中考數(shù)學(xué)壓軸題都可以下手，起碼得個(gè)2至5分，何況其它題呢？因此，我們今后的數(shù)學(xué)教育教學(xué)要扎扎實(shí)實(shí)按照實(shí)施素質(zhì)教育的要求去做，確實(shí)體現(xiàn)二期課改“以學(xué)生發(fā)展為本”的教育理念，減輕學(xué)生過(guò)重的課業(yè)負(fù)擔(dān)，狠抓基礎(chǔ)教學(xué)，重視“雙基”訓(xùn)練，包括抓好概念的辨析、主要公式的記憶、數(shù)學(xué)解題程式的掌握，爭(zhēng)取讓所有學(xué)生達(dá)到新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求。

　　■從今年上海市的中考數(shù)學(xué)壓軸題中，我們可以看到在考察學(xué)生基本運(yùn)算能力、思維能力的同時(shí)，對(duì)優(yōu)生還要著重考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力。因此，我們今后的數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，對(duì)這部分學(xué)生的培養(yǎng)，應(yīng)設(shè)計(jì)一些可考查他們靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的習(xí)題，但不要人為編造繁難的計(jì)算題和證明題。立意要新，要特別注重于創(chuàng)新意識(shí)和發(fā)散性思維能力的培養(yǎng)。

　　■今年上海市的中考數(shù)學(xué)壓軸題中，與往年相同，也著重考查了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和掌握。因此，給我們的啟示是：在今后的數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，重要的數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合的思想、分類(lèi)討論的思想和幾何運(yùn)動(dòng)變化等數(shù)學(xué)思想的教學(xué)要加強(qiáng)，而不是削弱。

　　■從今年上海市的中考數(shù)學(xué)壓軸題學(xué)生的解答中，我們可以知道：要使這個(gè)題完全正確得滿(mǎn)分，也是不易的。據(jù)了解一所普通中學(xué)考生所在的考場(chǎng)，25名考生竟無(wú)一人得滿(mǎn)分。所以，我們?cè)谄綍r(shí)的數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，既要教書(shū)，更要注重育人，使學(xué)生養(yǎng)成準(zhǔn)確計(jì)算，審題嚴(yán)密，表達(dá)規(guī)范，思維和書(shū)寫(xiě)同步進(jìn)行等良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，注意發(fā)展他們的優(yōu)良的學(xué)習(xí)品質(zhì)。

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