第一講 分式方程(組)的解法

y²-18y+72=0，

所以 y₁=6或y₂=12．

　　x²-2x＋6=0．

x²-8x+12=0，

所以 x₁=2或x₂=6．

　　經檢驗，x₁=2，x₂=6是原方程的實數根．

　　例3 解方程

　　分析與解 我們注意到：各分式的分子的次數不低于分母的次數，故可考慮先用多項式除法化簡分式．原方程可變為

x＋9=0，x=-9．

　　經檢驗知，x=-9是原方程的根．

　　例4 解方程

　　分析與解 方程中各項的分子與分母之差都是1，根據這一特點把每個分式化為整式和真分式之和，這樣原方程即可化簡．原方程化為

　　例5 解方程

　　分析與解 注意到方程左邊每個分式的分母中兩個一次因式的差均為常數1，故可考慮把一個分式拆成兩個分式之差的形式，用拆項相消進行化簡．原方程變形為

x²＋9x-22＝0，

解得 x₁=2，x₂=-11．

　　經檢驗知，x₁=2，x₂=-11是原方程的根．

　　例6 解方程

　　　　　　x=0或2x²-3x-2=2x²+5x-3．

　　例7 解方程

　　分析與解 形式與上例相似．本題中分子與分母只是一次項的符號相反，故可考慮用合分比定理化簡．原方程變形為

當x≠0時，解得x=±1．

　　經檢驗，x=±1是原方程的根，且x=0也是原方程的根．

　　說明 使用合分比定理化簡時，可能發生增根和失根的現象，需細致檢驗．

　　例8 解方程

　　解 將原方程變形為

　　例9 解關于x的方程

　　將x₁=a-2b或x₂=b-2a代入分母b+x，得a-b或2(b-a)，所以，當a≠b時，x₁=a-2b及x₂=b-2a都是原方程的根．當a=b時，原方程無解．

　　例10 如果方程

只有一個實數根，求a的值及對應的原方程的根．

　　分析與解 將原方程變形，轉化為整式方程后得

2x²-2x+(a+4)=0． ①

原方程只有一個實數根，因此，方程①的根的情況只能是：(1)方程①有兩個相等的實數根，即

△=4-4?2(a+4)=0．

　　(2)方程①有兩個不等的實數根，而其中一根使原方程分母為零，即方程①有一個根為0或2．

　　(i)當x=0時，代入①式得a+4=0，即a=-4．這時方程①的另一個根是x=1(因為2x²-2x=0，x(x-1)=0，x₁=0或x₂＝1．而x₁＝0是增根)．它不使分母為零，確是原方程的唯一根．

　　(ii)當x=2時，代入①式，得

2×4-2×2＋(a+4)=0，

即a=-8．這時方程①的另一個根是x=-1(因為2x²-2x-4=0．(x-2)(x+1)=0，所以x₁=2(增根)，x₂=-1)．它不使分母為零，確是原方程的唯一根．

　　 因此，若原分式方程只有一個實數根時，所求的a的值分別是

　　1．填空：

　　(3)如果關于x的方程

有增根x=1，則k=____．

　　2．解方程

　　3．解方程

　　4．解方程

　　5．解方程

　　6．解方程

　　7．m是什么數值時，方程