第十七講* 集合與簡(jiǎn)易邏輯

　　總之，集合是數(shù)學(xué)中一個(gè)最基本、最常用的概念，下面進(jìn)一步給同學(xué)們介紹一些關(guān)于集合的基本知識(shí)．

　　當(dāng)一個(gè)集合所含元素個(gè)數(shù)較少時(shí)，一個(gè)最簡(jiǎn)單的描述方法就是把它所含的每個(gè)元素都列舉出來(lái)，這叫列舉法．用列舉法表示集合，通常是將這個(gè)集合的每個(gè)元素一一填寫(xiě)在｛｝中，每個(gè)元素之間用逗點(diǎn)隔開(kāi)．填寫(xiě)集合的元素時(shí)，與元素的排列次序無(wú)關(guān)．例如：

　　也可記作

　　當(dāng)一個(gè)集合所含元素較多時(shí)，用列舉法描述很麻煩，這就要用到特征性質(zhì)描述法．

　　或者

　　或者

　　或者

　　則

　　或者

A∩B＝｛1，a｝．

　　已知A∩B=｛1，3｝．所以a=3．又由于

　　A∪B=｛1，a，b，a²｝=｛1，a，2a，3a｝=｛1，3，6，9｝，所以b=6．

　　邏輯一詞是LOGIC的音譯，它是研究思維法則的一門(mén)學(xué)科．?dāng)?shù)學(xué)和邏輯的關(guān)系非常密切，在此，對(duì)邏輯知識(shí)做一些初步介紹．

　　如果設(shè)A={x│x是4的倍數(shù)}，B={x│x是2的倍數(shù)}，則A中元素具有性質(zhì)α――4的倍數(shù)；B中元素具有性質(zhì)β――2的倍數(shù)．我們知道：如果某元素x是4的倍數(shù)，那么x一定是2的倍數(shù)，即具有性質(zhì)

　　(1)命題和逆命題

　　(i)雪是白的；

　　(ii)如果∠1和∠2是對(duì)頂角，那么∠1=∠2；

　　(iii)3+4=6；

　　上述所列都是對(duì)客觀事物做出判斷的語(yǔ)句．人們對(duì)客觀事物的情況做出判斷可能是正確的(真)，也可能是錯(cuò)誤的(假)．我們把肯定或否定的判斷語(yǔ)句叫作命題．上述語(yǔ)句(i)，(ii)，(iii)，(iv)都是命題．

　　關(guān)于命題的真假性，有些容易判斷，如(i)，(ii)是真命題，(iii)是假命題．但對(duì)(iv)的真假性就不是顯然可判斷的．可通過(guò)設(shè)x=1，y=0(x＞y)，那么

　　因此，命題(iv)為假命題(注意：證明一個(gè)命題為真命題，必須通過(guò)邏輯推演，但要證明一個(gè)命題為假命題只須舉出一個(gè)反例即可)．

　　(i)“如果2×3=6，那么6÷3=2”是真命題．它的逆命題“如果6÷3=2，那么2×3=6”也是真命題．

　　(ii)“若a=0并且b=0，則ab=0”是真命題，但它的逆命題“若ab=0，則a=0并且b=0”就不是真命題．

　　(iii)“如果∠1，∠2是對(duì)頂角，那么∠1=∠2”是真命題，但它的逆命題“∠1=∠2，那么∠1，∠2是對(duì)頂角”就是假命題．

　　(2)證明

　　例如，(i)若

　　∠1和∠2是對(duì)頂角，①

　　則 ∠1=∠2．③

　　(ii) 張三是人，①

　　已知：∠1是∠2的對(duì)頂角(圖2-98)，求證：∠1=∠2．

　　應(yīng)用已經(jīng)被確認(rèn)的正確命題和已知條件作根據(jù)，經(jīng)過(guò)推演，導(dǎo)出某一命題成立，這種方法就叫作演繹推理法(簡(jiǎn)稱(chēng)演繹法)．演繹法是證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法．

　　　　　　

　　　　　　＝a²＋b²＋c²

　　(a+b-c)²=a²+b²+c².

　　例2 某校數(shù)學(xué)競(jìng)賽，A，B，C，D，E，F，G，H八位同學(xué)獲得了前八名，老師叫他們猜一下誰(shuí)是第一名．A說(shuō)：“或者F，或者H是第一名．”B說(shuō)：“我是第一名．”C說(shuō)：“G是第一名．”D說(shuō)：“B不是第一名．”E說(shuō)：“A說(shuō)的不對(duì)．”F說(shuō)：“我不是第一名．”G說(shuō)：“C不是第一名．”H說(shuō)：“我同意A的意見(jiàn)．”老師說(shuō)八個(gè)人中有三人猜對(duì)了，那么試問(wèn)第一名是誰(shuí)？

　　分解與解 由已知條件可知：A與H同真假，E與F同真假，B與D必定一真一假．

　　(i)如果A與H猜對(duì)了，那么D與G也都猜對(duì)了．這樣就有四人猜對(duì)，不合題意，因此，A與H必定都猜錯(cuò)了．

　　(ii)如果E與F猜對(duì)了，即F與H都不是第一名，這時(shí)若B猜對(duì)了，那么D就猜錯(cuò)了，C也猜錯(cuò)了，G猜對(duì)了，這樣，就有E，F，B，G四人猜對(duì)，也與題意不符．因此B猜的不對(duì)，D猜對(duì)了，這時(shí)已有E，F，D三人猜對(duì)，所以G，C都必定猜錯(cuò)了，所以C是第一名．

　　1．已知A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5，7}，C={2，3，5，8} ，寫(xiě)出集合：

　　(1)A∩B∩C； (2)A∪B∪C；

　　(3)A∩(B∪C)；(4)A∪(B∩C)．

　　3．有某種產(chǎn)品100個(gè)，通過(guò)兩種檢查，第一種檢查合格品有90個(gè)，第二種檢查合格品有78個(gè)，兩種檢查都合格的有72個(gè)．試問(wèn)這100個(gè)產(chǎn)品中，通過(guò)兩種檢查都不合格的產(chǎn)品有多少個(gè)？

　　(1)a＞0□│a│＞0；

　　(2)a＝0且b=0□a²＋b²=0；

　　(3)(x-a)(x-b)=0□x=a或x=b；

　　(4)如果α＞1，β＞2，γ＞3，那么，α□γ，β□α，β□γ．

　　5．寫(xiě)出下列命題的逆命題，并指出其真假．

　　(1)若a=b，則(a-b)² =0；

　　(2)若a=b，則a²-b²=0；

　　(3)若a≠b，則a²＋b²＞2ab；

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