第十六講 相似三角形(二)

　　例1 如圖2-76所示．△ABC中，AD是∠BAC的平分線．求證：AB∶AC=BD∶DC．

　　分析 設法通過添輔助線構造相似三角形，這里應注意利用角平分線產生等角的條件．

　　證 過B引BE∥AC，且與AD的延長線交于E．因為AD平分∠BAC，所以∠1=∠2．又因為BE∥AC，所以

∠2=∠3．

　　從而∠1=∠3，AB=BE．顯然

△BDE∽△CDA，

　　所以 BE∶AC=BD∶DC，

　　所以 AB∶AC=BD∶DC．

　　說明 這個例題在解決相似三角形有關問題中，常起重要作用，可當作一個定理使用．類似的還有一個關于三角形外角分三角形的邊成比例的命題，這個命題將在練習中出現，請同學們自己試證．

　　在構造相似三角形的方法中，利用平行線的性質(如內錯角相等、同位角相等)，將等角“轉移”到合適的位置，形成相似三角形是一種常用的方法．

　　例2 如圖 2-77所示．在△ABC中，AM是BC邊上的中線，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延長線于D，且交AM延長線于F．求證：EF∥AB．

　　分析 利用角平分線分三角形中線段成比例的性質，構造三角形，設法證明△MEF∽△MAB，從而EF∥AB．

　　證 過B引BG∥AC交AE的延長線于G，交AM的延長線于H．因為AE是∠BAC的平分線，所以

∠BAE=∠CAE．

　　因為BG∥AC，所以

∠CAE=∠G，∠BAE=∠G，

　　所以 BA=BG．

　　又BD⊥AG，所以△ABG是等腰三角形，所以

∠ABF=∠HBF，

AB∶BH=AF∶FH．

　　又M是BC邊的中點，且BH∥AC，易知ABHC是平行四邊形，從而

BH=AC，

　　所以 AB∶AC=AF∶FH．

　　因為AE是△ABC中∠BAC的平分線，所以

　　AB∶AC=BE∶EC，

　　所以 AF∶FH=BE∶EC，

　　(AM+MF)∶(AM-MF)=(BM+ME)∶(BM-ME)(這是因為ABHC是平行四邊形，所以AM=MH及BM=MC．)．由合分比定理，上式變為

AM∶MB=FM∶ME．

　　在△MEF與△MAB中，∠EMF=∠AMB，所以

△MEF∽△MAB

　　(兩個三角形兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．)．所以

∠ABM=∠FEM，

　　所以 EF∥AB．

　　例3 如圖2-78所示．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．

　　即可，為此若能設法利用長度分別為AB，BC，CA及l=AB＋AC這4條線段，構造一對相似三角形，問題可能解決．

　　注意到，原△ABC中，已含上述4條線段中的三條，因此，不妨以原三角形ABC為基礎添加輔助線，構造一個三角形，使它與△ABC相似，期望能解決問題．

　　證 延長AB至D，使BD=AC(此時，AD=AB＋AC)，又延長BC至E，使AE=AC，連結ED．下面證明，△ADE∽△ABC．

　　設∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，則

∠A+∠B+∠C=7α=180°．

　　由作圖知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，所以

∠ACE=180°-4α＝3α，

　　所以 ∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．

∠EAB=2α＝∠EBA，AE＝BE．

AE=AC，AE=BD，

　　所以 BE=BD，

　　△BDE是等腰三角形，所以

∠D＝∠BED＝α＝∠CAB，

　　所以 △ABC∽△DAE，

　　例4 如圖2-79所示．P，Q分別是正方形ABCD的邊AB， BC上的點，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求證：QH⊥DH.

　　分析 要證QH⊥DH，只要證明∠BHQ=∠CHD．由于△PBC是直角三角形，且BH⊥PC，熟知∠PBH=∠PCB，從而∠HBQ=∠HCD，因而△BHQ與△DHC應該相似．

　　證 在Rt△PBC中，因為BH⊥PC，所以

∠PBC=∠PHB=90°，

　　從而 ∠PBH=∠PCB．

　　顯然，Rt△PBC∽Rt△BHC，所以

　　由已知，BP=BQ，BC=DC，所以

　　因為∠ABC=∠BCD=90°，所以

∠HBQ=∠HCD，

　　所以 △HBQ∽△HCD，∠BHQ=∠DHC，

∠BHQ＋∠QHC=∠DHC＋∠QHC．

∠BHQ＋∠QHC=90°，

　　所以 ∠QHD=∠QHC＋DHC=90°，

　　即 DH⊥HQ．

　　例5 如圖2-80所示．P，Q分別是Rt△ABC兩直角邊AB，AC上兩點，M為斜邊BC的中點，且PM⊥QM．求證：

PB²＋QC²=PM²＋QM²．

　　分析與證明 若作MD⊥AB于D，ME⊥AC于E，并連接PQ，則

PM²＋QM²=PQ²=AP²＋AQ²．

PB²+QC²=PA²+QA²， ①

PB²-PA²=QA²-QC²． ②

　　因為M是BC中點，且MD∥AC，ME∥AB，所以D，E分別是AB，AC的中點，即有

AD=BD，AE=CE，

(AD＋PD)²-(AD-PD)²

　　=(AE＋EQ)²-(AE-EQ)²， ③

AD?PD=AE?EQ． ④

　　因為ADME是矩形，所以

AD=ME，AE=MD，

ME?PD=MD?EQ． ⑤

　　為此，只要證明△MPD∽△MEQ即可．

　　事實上，這兩個三角形都是直角三角形，因此，只要再證明有一對銳角相等即可．由于ADME為矩形，所以

∠DME=90°=∠PMQ(已知)． ⑥

　　在⑥的兩邊都減去一個公共角∠PME，所得差角相等，即

∠PMD=∠QME． ⑦

△MPD∽△MEQ．

　　例6 如圖2-81所示．△ABC中，E，D是BC邊上的兩個三等分點，AF=2CF，BF=12厘米．求：FM，MN，BN的長．

　　解 取AF的中點G，連接DF，EG．由平行線等分線段定理的逆定理知DF∥EG∥BA，所以

△CFD∽△CAB，△MFD∽△MBA．

　　所以MB=3MF，從而BF=4FM=12，所以

FM=3(厘米)．

　　又在△BDF中，E是BD的中點，且EH∥DF，所以

　　因為EH∥AB，所以△NEH∽△NAB，從而

　　顯然，H是BF的中點，所以

　　1．如圖2-82所示．在△ABC中，AD是∠BAC的外角∠CAE的平分線．求證：AB∶AC=BD∶DC．

　　2．如圖2-83所示．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，CF平分∠BCD．求證：EF∥BC．

　　3．如圖2-84所示．在△ABC內有一點P，滿足∠APB=∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求證：

PB²＝PA?PC．

　　(提示：設法證明△PAB∽△PBC．)

　　4．如圖2-85所示．D是等腰直角三角形ABC的直角邊BC的中點，E在斜邊AB上，且AE∶EB=2∶1．求證：CE⊥AD．

　　5．如圖2-86所示．Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，P為AD的中點，延長BP交AC于E，過E作EF⊥BC于F．求證：EF²=AE?EC．

　　6．在△ABC中，E，F是BC邊上的兩個三等分點，BM是AC邊上的中線，AE，AF分別與BM交于D，G．求：BD∶DG∶GM．

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